§8. Суперсимметрия?. Часть 1
Идея о возможном существовании суперсимметрии (SUSY) возникла в процессе изучения вариантов построения теории объединения гравитационного, электрослабого и сильного взаимодействий — группа, соответствующая объединенному взаимодействию, должна быть нетривиальным объединением групп внутренней симметрии в физике элементарных частиц и группы Пуанкаре, которая является группой движений в четырехмерном пространстве — полупрямое произведение группы вращений в четырехмерном пространстве относительно любой оси (группа Лоренца) и группы пространственных сдвигов в четырехмерном пространстве. Группа Пуанкаре является неабелевой некомпактной группой Ли, следовательно, объединенная группа симметрии также будет некомпактной группой.
Однако имеется теорема Колемана—Мандулы [157], в которой доказано, что не существует унитарных конечномерных представлений некомпактной группы. Следовательно, могут рассматриваться две возможности:
1. Группа, объединяющая все взаимодействия, имеет непрерывное распределение масс (что отрицает само существование элементарных частиц, поэтому такой подход далее не рассматривается).
2. Существует бесконечное число частиц в каждом неприводимом представлении группы, соответствующей объединенному взаимодействию [157], что явно противоречит наблюдательным данным (напомним, что неприводимыми представлениями группы, соответствующей электрослабому взаимодействию, являются мультиплеты (т. е. совокупности частиц с одинаковыми собственными значениями гамильтониана группы взаимодействий) кварков и лептонов с одинаковыми лептонны-ми числами, неприводимыми представлениями группы КХД являются мультиплеты кварков с одинаковыми цветовыми
зарядами, и т. д.) — количество частиц в неприводимых представлениях групп, описывающих взаимодействия, ограничено для компактных групп, а как минимум две такие группы (U(\) ® SU(I) — группа симметрии для электрослабого взаимодействия и 577(3) — группа симметрии для КХД) должны входить в качестве подгрупп в группу, соответствующую объединенному взаимодействию.
К счастью, дальнейшие исследования этой теоремы запрета показали, что рассмотрение градуированных групп Ли (в том числе и Zi-градуированных, т. е. групп Ли, для которых определено понятие четности для членов их представлений) позволяет ее некоторым образом обойти. Обобщением алгебры Ли на случай суперсимметрии является супералгебра Ли, которую образуют бесконечно малые преобразования супергруппы, т. е. градуированная алгебра с добавлением обобщенного коммутатора (суперкоммутатора, коммутатора Якоби), который определяется следующим образом [1]: если оба элемента супералгебры ж и у нечетные, то [ж, у] = ху + ух; если хотя бы один элемент — четный, то суперкоммутатор определяется аналогично коммутатору в алгебре Ли [ж, у] = ху - ух; если элемент является суперпозицией четного и нечетного элементов, то суперкоммутатор определяется из условия билинейности.
Основой физических суперсимметричных теорий обычно является супералгебра трансляций, которая порождается конечным числом четных и нечетных генераторов [1,45], причем четные генераторы преобразуются как представления с целым спином, т. е. при рассмотрении четырехмерной супералгебры трансляций составляют четырехвектор Pk, к = 0, 3, а нечетные генераторы преобразуются как представления с полуцелым спином, т. е. являются фундаментальным и сопряженным фундаментальным представлениями группы матриц второго порядка — спинорами Qj, j = 0, 1 и Qi, г — 0,1. Наиболее простая супералгебра порождается четырьмя четными генераторами P^ и четырьмя четными генераторами Qj
Другие части: