§ 5. Фридмановские интегралы. Часть 3
Легко заметить сходство уравнения (1.7) с уравнением для радиуса шара, полученного в начале второй главы книги с использованием только ньютоновской теории. Как мы видим, имеет место соответствие между знаком кривизны пространства и полной энергией
в ньтоновском аналоге этого уравнения: знак к противоположен знаку полной энергии Е. Имеется, таким образом, взаимно-однозначная связь между кривизной пространства и динамическим типом космологического расширения, о чем мы уже не раз упоминали.
Точное подобие релятивистского и ньютоновского уравнений не простая случайность; это очевидное проявление в данном случае одного из основных принципов теоретической физики, принципа соответствия, согласно которому новая более общая теория включает в себя в качестве предельного или частного случая старую теорию в области ее применимости. Можно считать, что ньютоновские уравнения для однородного шара применяются при условии, что скорость расширения шара R гораздо меньше скорости света, а гравитационный потенциал на поверхности шара гораздо меньше скорости света в квадрате. Эти условия определенно выполняются для шара достаточно малого радиуса. Но в мире Фридмана все расстояния, считая и малые, изменяются пропорционально масштабному фактору a(t); следовательно и для малого шара R ос а. Отсюда и вытекает необходимость точного подобия уравнений для с и для R как функции времени.
Стоит все же заметить, что при ньютоновском описании космологического расширения без парадоксов не обходится. Действительно, уравнение движения для частицы на поверхности шара записано, как нужно считать, в инерциальной системе отсчета. В этой системе частица, находящаяся в центре рассматриваемого шара, покоится; с нею связано начало координат. Но в однородном мире все без исключения частицы равноправны, и значит, точно такое же уравнение движения можно записать и в системе отсчета, связанной с частицей, которая находится, например, на поверхности того же шара. Однако частица на поверхности шара движется относительно его центра отнюдь не равномерно, а согласно уравнению ее движения, с отличным от нуля ускорением. Поэтому обе системы отсчета не могут быть одновременно инерциальными. Этот парадокс снимается в общей теории относительности, где равноправны все свободно падающие системы отсчета, т. е. системы отсчета, которые опираются на физические тела, беспрепятственно движущиеся в поле тяжести.
Входящие в уравнение Фридмана константы А даются общим соотношением
(2.57)
в котором w = р/р для каждой компоненты космической среды. Для вакуума w = — 1, для темного вещества и барионов w = О, для излучения го = 1/3; к = EnG/З. Константы А очевидным образом связаны с появлявшимися выше константами С и представляют в этом уравнении четыре компоненты космической среды, или четыре вида космической энергии. Как легко увидеть, интегралы А для разных уравнений состояния имеют одинаковую размерность (длины). Ниже мы увидим, что их численные значения близки друг к другу по порядку величины и составляют 1028—1026 см.
Другие части:
§ 5. Фридмановские интегралы. Часть 1
§ 5. Фридмановские интегралы. Часть 2
§ 5. Фридмановские интегралы. Часть 3