Погрешности косвенных измерений. Погрешность функций одного или нескольких переменных

Косвенными принято называть измерения, результат которых находится не прямым измерением, а путем расчета с помощью конкретных функциональных зависимостей, аргументы которых находят прямым измерением. Для решения этой задачи привлекается аппарат дифференциального исчисления. Его применение основано на следующем предположении: если абсолютные погрешности ?Xдостаточно малы в сравнении со значениями самих величин Xi а функция f непрерывна во всей области измерений, то абсолютная погрешность σ_Y тоже мала. Поэтому, если величины σ_X рассматривать как малые приращения аргументов dXi соответствующая погрешность σ_Y примет вид dY, а связь между ними определяется соотношением:

Y + dY = f[(X1 + dx1), (Х2 + dX2).....(Хп + dxn)].

В частном случае для функции одного переменного Y = f(X) справедливо:

Y + dY= f (X + dX).
Разложив это выражение в ряд Тейлора и ограничившись двумя первыми членами и с учетом Y = f(X), получим:

(7)

Учитывая, что в данных выражениях дифференциалы dYи dXесть мера стандартных отклонений σ_Y и σ_X , запишем соотношение, связывающее дисперсии случайных величин Y и Xв форме:

(8)

Обобщая данное выражение на функцию нескольких переменных Y =f(Хи Х2, ..., Хп,) можно получить общее выражение для связи дисперсии и стандартного отклонения функции с дисперсиями и стандартными отклонениями отдельных аргументов:

(9)

Для относительного стандартного отклонения функции одного аргументаσ_r,Y (7) следует:

(10)

Для нескольких аргументов получим:

(11)

Итак, рассмотрим отдельные частные случаи.
1. Для функций вида
выполняется равенство:

(12)

Равенство можно трактовать как принцип аддитивности дисперсий независимых случайных величин (погрешностей).
2. Для функции вида
, где α, β…ω – любые действительные числа, справедливо соотношение:

(13)

Это означает, что для функций указанного вида аддитивны относительные стандартные отклонения.
Формулы (7)-(13) сохраняют свой вид при переходе от оценок, выраженных через генеральные параметры σ_Y и σ_X к оценкам, выраженным через выборочные параметры s_x и s_Y. При этом корректной оценкой доверительного интервала для среднего значения
, а именно:
следует считать оценку по Стьюденту для заданной доверительной вероятности P и числа степеней свободы fi = ni – 1 для аргумента с минимальным объемом выборки ni.

Пример 1. При измерении температуры газовым термометром получены следующие значения давления, объема и количества вещества: V=1000 см3 (0,001 м3); р = 1,013*10⁵Па; n = 0,0445 моль. Соответствующие стандартные отклонения составляют: σV = 1 см3; σP= 10² Па; σT = 9*10^-5 моль. Рассчитать значение температуры, абсолютное и относительное стандартное отклонение при оценке температуры газовым термометром.

Решение. Приняв R = 8,317 Дж/моль*К, найдем:

Т = PV/nR = 1,013 * 10⁵ * 10^-3/(4,45 *10^-2*8,317) = 273,75 К,

что близко к температуре плавления льда при нормальных условиях.

Для расчета погрешности σr,T воспользуемся формулой (13), для чего перейдем к относительным стандартным отклонениям: σr,V = 0,001; σr,P = 0,001; σr,n = 0,002. Отсюда:

(σR принято равным нулю, поскольку эта величина известна с большой точностью). Через величину σr,T найдем абсолютную погрешность: σT = σr,.T = 0,685 или примерно 0,7 К.

см. также

Математическая обработка результатов химического анализа