§ 7. Космология в модели Калуцы—Клейна. Часть 3
(1.129)
где дц„ — метрический тензор пространства M4, A1x — калибровочное поле с U{\)-симметрией, аналогичное потенциалу в электродинамике, Ф — некое скалярное поле, что приводит к модификации (1.126) и выражению четырехмерных величин следующим образом:
где
— тензор электромагнитного поля, a в данном выражении является тензором энергии-импульса электромагнитного поля и выражается как
— см., например, [23]. Первое уравнение соответствует уравнениям ОТО, второе — уравнениям Максвелла для электромагнитного поля, а третье определяет условия, налагаемые на скалярное поле Ф. Естественно, когда теория Калуцы—Клейна только создавалась, еще не было понятия скалярного поля, и уравнения (1.130) записывались следующим образом:
(1.131)
В случае плоского пятимерного пространства (например, в космологии) интервал между событиями можно представить в виде:
(1.132)
где г,в,ф — обычные трехмерные координаты, t — время, I = ж4. Интервал (1.132) можно привести к виду, подобному метрике Фридмана— Робертсона—Уолкера (1.9)
(1.133)
если сделать следующую замену переменных:
(1.134)
а если при этом полагать, что добавка к тензору энергии-импульса (1.128) обладает свойствами идеальной жидкости с плотностью ркк и давлением ркк, т. е. Ткк = diag (ркк, -рКк, ~Ркк, ~Ркк), то свойства этой жидкости будут следующими:
что позволит интерпретировать эту добавку как сумму материальной и вакуумной частей. Уравнение состояния материальной части соответствует уравнению состояния рт = 0, а вакуумная часть отвечает уравнению состояния pv = Лу/(87г) = —р, т.е. в теории Калуцы—Клейна пятимерная метрика может индуцировать и материю, и вакуум:
(1.136)
Космологическая постоянная в этом случае (если все ее значение определяется плотностью энергии вакуума) естественным образом возникает в космологических уравнениях, и ее значение определяется характерным размером скомпактифицированно-го пространства.
Если же в (1.133) сделать замену переменных,
(1.137)
то (1.132) можно записать в де-ситтеровском виде:
(1.138)
что приводит к наличию только вакуумной части в добавке (1.128), свойства которой выражаются следующим образом:
(1.139)
т.е. (1.138) описывает вакуумно-доминантное космологическое решение на гиперповерхности А = const, в котором космологическая постоянная полностью индуцирована пятимерной метрикой.
Другие части:
§ 7. Космология в модели Калуцы—Клейна. Часть 1
§ 7. Космология в модели Калуцы—Клейна. Часть 2